Conferència de la Astronómica de Sabadell. Albert Morral, 28 de septiembre de 2016.
Hoy no hablaré de ningún tema propiamente astronómico, sino de un concepto matemático: el infinito. El infinito siempre me ha fascinado, no sólo por el concepto en sí mismo, sino por la manera en que los matemáticos lo han entendido, trabajado y domesticado. Y no sólo han domesticado lo infinitamente grande, sino también lo infinitamente pequeño. De hecho, hoy en día no se entenderían las matemáticas sin estos conceptos. Hay partes enteras de las matemáticas que se basan completamente en ellos. Pero ya os digo ahora que no me he preparado una charla matemática espesa, sino, más bien, un divertimento donde os quiero mostrar algunas ideas sobre el infinito.
Hay tres disciplinas que a lo largo de la historia se han peleado con este concepto: la filosofía, las matemáticas y la física. Los filósofos de la Grecia clásica fueron los primeros de toparse con el infinito y no lo consiguieron. No lo entendieron y lo encontraron muy, muy extraño. De hecho llegaron a plantear paradojas que no resolvieron nunca. También los matemáticos griegos se encontraron con números infinitos y eso les creó una auténtica crisis. No fue hasta el siglo XVIII y XIX que los matemáticos domesticaron primero lo infinitamente pequeño y luego lo infinitamente grande. A partir de lo infinitamente pequeño, el infinitésimo, los matemáticos construyeron una potente herramienta de cálculo, conocido como cálculo diferencial e integral (derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales). Se trata de unas herramientas imprescindibles para todas las disciplinas científicas, sobre todo la física. Y lo infinitamente grande resultó ser más complejo de lo esperado, ya que se descubrió que hay diferentes tipos de infinitos, y se aprendió a operar con ellos. Finalmente los físicos lo tienen mucho más fácil a la hora de trabajar con los infinitos. En primer lugar han tenido que aprender y dominar las herramientas de cálculo obtenida con los infinitesimales; y después, cuando hacen cálculos y el resultado que obtienen es infinito lo descartan, porqué los físicos no creen que nada en el universo pueda ser infinito. Aunque a finales del siglo XX, una serie de observaciones astronómicas demostró que quizás sí que hay una cosa infinita… lo veremos al final de la charla.
El infinito según los filósofos
En la Grecia antigua nacieron la mayor parte de disciplinas de hoy en día: la física, la química, la geología, la historia, la geografía, etc ...
Los filósofos griegos también se encontraron con el concepto de infinito y no lo llegaron a entender, o mejor dicho, lo llegaron a odiar. Para ellos -como para la mayoría de nosotros- el infinito era un concepto tan extraño que los llevó a una gran confusión.
Uno de los filósofos que habló más del infinito fue Zenón de Elea (490-430 aC), pensador pre-socrático, quien planteó problemas a sus alumnos que se convirtieron en paradojas. Se conservan nueve de ellas, de las cuales explicaré dos, quizás las dos más famosas:
1. La paradoja de la flecha
Tenemos un arquero con un arco y una flecha, y a cierta distancia una diana. Si el arquero dispara la flecha (y sabemos que tiene buena puntería) ¿la flecha impactará en la diana? Sabemos que sí, pero vamos a ver el razonamiento de Zenón (para simplificar diremos que la distancia entre el arquero y la diana vale 1): La flecha, para ir hasta la diana, debe recorrer la mitad del camino (1/2); una vez allí tiene que recorrer la mitad del camino que le queda (1/4); una vez ha llegado, tiene que volver a recorrer la mitad del camino que le queda (1/8); y así sucesivamente. Este razonamiento se puede hacer infinitas veces, y por eso Zenón deducía que la flecha no llegaría nunca a la diana. Zenón pensaba que era imposible hacer una suma de infinitos términos.
2. Aquiles y la tortuga
Supongamos que tenemos a Aquiles, un semidiós muy fuerte y rápido, a unos cuantos metros detrás de una tortuga. ¿La atrapará? Vamos a ver el razonamiento de Zenón: En un momento inicial Aquiles está a unos metros de la tortuga. Empieza a correr y cuando llegue donde estaba la tortuga inicialmente, la tortuga se habrá movido una distancia y ya no la encontrará. Ahora volvemos a hacer el mismo razonamiento, y cuando Aquiles vuelva a llegar donde estaba la tortuga, ésta ya no estará porque se habrá movido un poquito. Y este razonamiento se puede hacer infinitas veces. Por lo tanto Zenon deducía que Aquiles nunca alcanzará la tortuga. Pero todos sabemos, porque la experiencia así nos lo dice, que sí la atrapará. Hemos llegado a otra paradoja.
Aristóteles (384-322 aC), quizás el más influyente filósofo griego, dividió las cosas en acto y en potencia. Así, por ejemplo, un niño es un niño en acto y es un hombre en potencia, porqué en un futuro lo llegará a ser. Pero en cambio el infinito solo puede ser en potencia, nunca en acto. Nada puede alcanzar un valor infinito. El infinito no existe como tal.
El infinito según los matemáticos
Siglos antes de Aristóteles, Pitágoras (582-496 aC) y su escuela matemática descubrieron que había unos números horribles que rompían la perfección de las matemáticas: los números irracionales. Se trata de números que no se pueden representar como la división de dos números enteros y tienen infinitos decimales. Seguramente el primer irracional que descubrieron fue la raíz cuadrada de 2 y lo descubrieron de una forma muy sencilla: tomaron un cuadrado de lados 1x1 y calculó la diagonal.
Este número tiene infinitos decimales. ¿Cómo podía un número tener infinitos decimales? En aquella época no era comprensible. A los números de este tipo los llamaron irracionales (fuera de la razón).
De hecho el descubrimiento de éste y otros números horribles como éste fue un gran secreto de la escuela pitagórica, y provocó la mayor crisis de la matemática pitagórica.
Como se ha comentado, tuvieron que pasar más de dos mil años para que los matemáticos domesticaran el infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño.
Lo infinitamente grande
Empezamos con el infinito grande. No se trata de un número, sino que es un concepto pero que se puede operar y trabajar con él. Vamos a analizar qué significa infinito.
Si tomamos el conjunto de números naturales: 1,2,3,4,5 ...
Son infinitos, ya que si se toma uno cualquiera de ellos (n), siempre existe uno más grande (n+1). Por lo tanto no se acaban nunca.
Para escribir números muy grandes, se hace con notación científica, con potencias de diez. Así, por ejemplo: 10.000=104
¿Cuál es el número entero más grande que tiene nombre propio? En 1938, Milton Sirotta, un niño de 9 años, sobrino del matemático Edward Kasner, bautizó un número muy grande que se "inventó" su tío, con el nombre de gúgol (de ahí el nombre del buscador google ).
1 gúgol = 10100
Actualmente este no es el número más grande bautizado, porque después se inventaron el gúgolplex y el gugolduplex:
1 gugolplex = 10gugol
1 gugolduplex = 10gugolplex
Hay que pensar que sin notación científica estos números no se podría escribir porque no habría suficiente espacio suficiente en todo el universo que conocemos.
Pero todavía hay un número mayor con nombre propio. Se conoce con el número de Graham y su definición es tan complicada que no intentaremos explicar aquí.
Y hablando de números grandes. Hay un tipo de números muy importantes en matemáticas: los números primos. Son aquellos que sólo son divisibles por 1 y por ellos mismos. Los primeros ejemplos son: 1,2,3,5,7,11,13,17,19 .... Conocer números primos grandes es importante porque sirven para encriptar y desencriptar mensajes, por ejemplo. De momento el número primo más grande que se conoce, con 17 millones de dígitos, lo descubrió Curtis Cooper y es el siguiente:
257885161-1
Pero, vamos a ver qué descubrieron los matemáticos sobre el infinito.
La mayoría de disciplinas matemáticas han sido desarrolladas durante décadas gracias a un buen puñado de matemáticos que han ido haciendo contribuciones. Pero en el caso del infinito hay una gran figura que trabajó casi en solitario, a él le debemos casi todo lo que sabemos sobre el infinito: George Cantor (1945-18). Este matemático nació en Rusia, pero a la edad de 11 años sus padres se trasladaron a Alemania y allí hizo toda su carrera y su vida. Es el fundador de la teoría de conjuntos moderna, entre otras cosas, donde el infinito tiene una importancia vital.
Cantor descubrió que no todos los infinitos son iguales, sino que hay infinitos más grandes que otros. De entrada vio que hay infinitos numerables e infinitos no numerables.
Los conjuntos de infinitos numerables son aquellos cuyos elementos pueden ponerse uno al lado de otro, en fila. Se pueden numerar, o lo que es lo mismo, podemos hacer corresponder cada elemento a un número natural: el primero con el 1, el segundo con el 2, el tercero con el 3, etc.
Todos los conjuntos infinitos numerables tienen el mismo número de elementos. Matemáticamente se dice que tienen el mismo cardinal. Y aquí llegamos a cosas curiosas. Vamos a ver algunos ejemplos: ¿quién tiene más números, el conjunto de los números naturales o el conjunto de los números naturales pares?
Los números naturales son: 1,2,3,4,5,6 .....
Y los números pares son: 2,4,6,8,10,12,14,16 ...
De entrada parecería que los naturales tienen el doble de números que los naturales pares, pero ambos son numerables y tienen el mismo número de números (mismo cardinal).
¿Y qué conjunto es mayor, el de los números naturales o el de los números enteros? Los enteros son los naturales, el cero y los naturales negativos: ...- 6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...
El conjunto de los enteros también es numerable, y por lo tanto tiene el mismo número de elementos que los naturales. Podemos colocarlos uno tras otro de la siguiente manera: 0,1, -1,2, -2,3, -3,4 ...
Si a los números enteros añadimos los fraccionarios, tenemos los números racionales, que son todos aquellos que se pueden expresar como la división de dos enteros: 2/4,1/6,8/56...
¿Y el conjunto de números racionales es numerable? Pues sí, también los podemos poner en fila, uno al lado del otro. Cantor lo hizo de la siguiente manera:
Pero también hay números que no se pueden expresar de esta manera, son los irracionales, números que tienen infinitos decimales, como por ejemplo raíz cuadrada de dos.
El conjunto de racionales más irracionales forman los números reales, y el conjunto de los reales tampoco es numerable. Cantor demostró que es imposible de colocar sus elementos uno detrás del otro.
Los conjuntos no numerables son infinitos más grandes que los numerables. Relacionado con esto hay un divertimento llamado el hotel de Hilbert, que expresa la idea de que todos los conjuntos infinitos numerables son iguales.
Imaginemos que tenemos un hotel con infinitas habitaciones y todas están ocupadas. Llega un nuevo cliente y pide habitación. ¿Lo podrán alojar? Sí. Lo que debe hacer la recepcionista es lo siguiente: si un huésped está en la habitación n tendrá que ir a la habitación n + 1 (1->2, 2->3, 3->4...). La habitación 1 quedará libre y podrá entrar el nuevo cliente.
Ahora imaginemos que el hotel tiene todas las habitaciones ocupadas. Llegan infinitos clientes y piden habitaciones. ¿Los podrán alojar? Sí. Lo que debe hacer la recepcionista es lo siguiente: si un huésped está en la habitación n tendrá que ir a la 2n (1->2, 2->4, 3->6 ...) de tal manera que se llenarán las habitaciones pares y quedarán vacías las impares. Los infinitos nuevos clientes que han llegado se podrán alojarse en las habitaciones impares.
Finalmente imaginemos que el hotel de infinitas habitaciones las tiene todas ocupadas y que llegan infinitos autocares con infinitos clientes cada autocar. ¿Los podrán alojar? Sí. Lo que debe hacer la recepcionista es el siguiente: si un huésped está en la habitación n tendrá que ir a la 2n (1->2, 2->4, 3->6 ...) de tal manera que se llenarán las habitaciones pares y quedarán vacías las impares. Después tomará los números primos: 3,5,7,11 ... (hay infinitos) y con cada número primero hará un conjunto infinito con sus múltiples (por ejemplo, por el número 3: 3,9,27,81 ...). De esta manera cada autobús le otorgará un número primo y sus múltiplos.
En este vídeo se explica este divertimento muy bien: https://www.youtube.com/watch?v=_5x-j0zRv5w
Lo infinitamente pequeño
Un siglo antes de domesticar lo infinitamente grande se domesticó lo infinitamente pequeño. En este caso lo hicieron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1.646-1716). Posteriormente, fue Augustin Louis Cauchy quien dio una forma más rigurosa al añadir el concepto de límite. Esta rama de las matemáticas se ha convertido en una potente herramienta de cálculo, imprescindible para la física y las demás ciencias.
Ahora bien, ya los griegos (como siempre!) Habían comenzado a desarrollar esta herramienta de cálculo. Concretamente fueron Eudoxo de Cnido (408-355 aC) y Arquímedes de Siracusa (287-212 aC) quienes lo hicieron. Un ejemplo es el cálculo del área de una parábola por Arquímedes. Este sabio griego quería calcular el área entre una parábola y una línea recta (figura):
Para ello elaboró un método aproximativo. En primer lugar podemos aproximar el área de la parábola con el área del triángulo central (que vale 1), luego le sumamos el área de los dos triángulos laterales (que vale 1/8 cada una), luego le sumamos el área del cuatro triángulos todavía más pequeños (que vale 1/16 cada una), y vamos sumando cada vez triángulos más pequeños ...
Matemáticamente se expresa así:
Es una suma de infinitos términos! que según Zenón es imposible de sumar.
Pero siglos después los matemáticos aprendieron a sumar sumas de infinitos términos, que se denominan series. Las series tienen unas reglas propias. Hay series que tienen resultado (se llaman convergentes) y los hay que no tienen (divergentes). Muchas veces es complicado saber si una serie es convergente o no. Vamos a ver algunos ejemplos:
La serie S = 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 .... ¿es convergente?
Esta serie la podemos escribir como:
S = (1-1) + (1-1) + (1-1) + .... = 0 + 0 + 0 + --- = 0
Pero por otra parte la podemos escribir como:
S = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
Y también la podemos escribir como:
S = 1- (1-1 + 1-1 + 1-1 + ...) = 1-S -> S = 1/2
¿Cuál es el resultado bueno? Ninguno de ellos porque las series no se pueden tratar como sumas finitas. Esta serie es divergente.
La serie S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... ¿es convergente?
No, su resultado es infinito.
Y la serie de la paradoja de la flecha de Zenón ¿ es convergente? Sí, es convergente y su suma vale 1, por lo tanto la flecha llegará a la diana!
Y la serie del área de la parábola de Arquímedes ¿ es convergente? Sí, y vale 4/3.
La rama de la matemática conocida como análisis o cálculo (diferencial e integral) se basa en la suma de series infinitas. Imaginemos que queremos calcular el área que hay entre la curva f (x) y la recta x. ¿Cómo lo podemos hacer? Arquímedes nos indicó el camino:
Podemos dividir la recta x en diferentes segmentos y que la altura sea el valor de la curva. Así tendremos rectángulos, de los que ya sabemos sumar el área. La suma de todas las áreas nos dará un valor aproximado del área que queremos encontrar. El truco es hacer estos rectángulos cada vez más estrechos. La suma de las áreas que obtendremos se acercará cada vez más al área que queremos encontrar. Si hacemos que la anchura de los rectángulos tienda a un valor infinitamente pequeño, sumaremos infinitos rectángulos. Esto es una serie, y su suma nos dará el valor exacto del Área.
Esto se llama integrar y, como hemos dicho, es una herramienta básica para los científicos. No sólo sirve para calcular áreas, sirve para muchas cosas más. La inversa de la integral es la derivada, que es otra gran operación de cálculo.
El infinito según los físicos
En el mundo real ¿Puede haber alguna cosa infinita? Pues en principio creemos que no. De entrada podemos calcular la cantidad de algunos de los elementos que hay en el Universo:
El número de estrellas en la Vía Láctea es: 2 · 1011
El número de galaxias del Universo conocido es: 1011
El número de estrellas en el Universo conocido: 2 · 1022
El número de partículas que hay en un mol: 6,67 · 1023
El número de partículas que hay en el Universo: 2,2 · 1079
Como se puede ver, estos números son muy grandes, pero muy alejados del infinito. Si miramos como es el propio Universo (su espacio y tiempo) tenemos que:
La edad del Universo: 13.800 millones años = 4,35 · 1017 s
El diámetro del Universo observable. = 93.500 millones años luz = 1027 m
Y si vamos al mundo de las partículas elementales, la física cuántica nos dice que no podemos dividir el espacio y el tiempo indefinidamente, sino que hay un límite. Estos límites son el tiempo de Planck y la longitud de Planck:
Tiempo de Planck = 45,3 · 10-44 s
Longitud de Planck = 1,61 · 10-35 m
En este vídeo se puede ver las diferentes escalas del Universo: https://htwins.net/scale2/lang.html
Muchas veces cuando se hace un cálculo en física el resultado es infinito, pero no porque sea real, sino porque el modelo matemático que se ha utilizado no es perfecto. Entonces hay que buscar un nuevo modelo matemático para explicar esta parte de la naturaleza. Un ejemplo de este tipo es la teoría de la fuerza de la gravedad. Newton elaboró una teoría para explicar esta fuerza con una sencilla fórmula que funciona muy bien, y de hecho con ella hemos enviado hombres a la Luna y sondas a Plutón, pero ¿qué pasa si la distancia entre las dos masas es muy, muy pequeña? Pues que la fuerza va creciendo y tiende a infinito. ¿Es verdad este resultado? No! Lo que pasa es que esta fórmula no sirve siempre, en concreto no sirve cuando las distancias son muy pequeñas. Hay que encontrar una nueva fórmula para estos casos.
En 1915 Albert Einstein hizo una segunda teoría de la gravedad, llamada Teoría de la Relatividad General. En este caso la fórmula (las fórmulas en realidad) es mucho más compleja. Estas ecuaciones también tienen puntos singulares donde alguna magnitud se va a infinito, pero su uso es mucho más general que en el caso de la fórmula anterior.
Según estas fórmulas, la gravedad no es una fuerza a distancia, sino que la masa y la energía curva el espacio y el tiempo de su alrededor. Para visualizar este efecto normalmente se dibuja el espacio como un plano de dos dimensiones, pero en realidad tiene tres.
Si estudiamos el Universo como un todo se puede calcular su curvatura. Esta curvatura puede ser de tres tipos diferentes, y por tanto la geometría del universo tiene tres posibilidades: Si el Universo tiene poca masa-energía, su curvatura será muy débil y el Universo será abierto e infinito; si el Universo tiene mucha masa-energía, su curvatura será muy fuerte y se cerrará sobre sí mismo, será cerrada, y el Universo será finito; y hay un caso intermedio, si el universo tiene una masa-energía en medio, su curvatura será nula y su geometría plana, siendo también infinito.
Esto es la teoría, pero ¿cuánta masa-energía hay en el Universo?
De entrada se encuentra la materia visible. Esta es 1% de la materia necesaria para que el Universo sea plano. Después hay materia no visible (como agujeros negros, estrellas pequeñas, gas, etc ...) que es un 4% más. Hace muchos años se descubrió que seguro que hay materia que no conocemos ni vemos pero de la que notamos su fuerza de gravedad. Se llama materia oscura y representa el 25%. Con estos resultados se llegó a finales del siglo XX y el Universo contenía un 30% de la materia necesaria para que fuera plano, por lo tanto era abierto. Pero en 1998 se midieron supernovas de tipo Ia muy lejanas y demostraron que el Universo estaba acelerado. Esto quería decir que había algo, llamada energía oscura, que también contribuía a la masa-energía del universo. Y, oh casualidad! Su valor era de 70%. Por lo tanto la masa total del universo era de 100% la necesaria para que el Universo fuese plano. Por lo tanto se concluye que el Universo es plano !!! Y eso quiere decir que el Universo es infinito !!!!
Por lo tanto, vivimos en un universo infinito !!!! por primera vez en la historia tenemos que aceptar que algo sí es infinita: el propio universo.
Acabaré con una cita del propio Albert Einstein:
"Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana, y de la primera no estoy seguro".
Muchas gracias.