Conferència de l'Astronòmica de Sabadell. Albert Morral, 28 de setembre de 2016.
Vídeo de la conferència
Transcripció de la conferència
Avui no parlaré de cap tema pròpiament astronòmic, sinó d’un concepte matemàtic: l’infinit. L’infinit sempre m’ha fascinat, no només per ell mateix, sinó per la manera en què els matemàtics l’han entès, treballat i domesticat. I no només han domesticat l’infinitament gran, sinó també l’infinitament petit. De fet, avui en dia no s’entendrien les matemàtiques sense aquests conceptes. Hi ha parts senceres de les matemàtiques que es basen completament en ells. Però ja us dic ara que no m’he preparat una xerrada matemàtica espessa, sinó, més aviat, un divertiment on us vull mostrar unes quantes idees sobre l’infinit.
Hi ha tres disciplines que al llarg de la història s’han barallat amb aquest concepte: la filosofia, la matemàtica i la física. Els filòsofs de la Grècia clàssica van ser els primers de topar-se amb l’infinit i no se’n van sortir. No el van entendre i el van trobar molt, molt estrany. De fet van arribar a paradoxes que no van resoldre mai. També els matemàtics grecs es van trobar amb nombres infinits i això els va crear una autèntica crisi. No va ser fins el segle XVIII y XIX que els matemàtics van domesticar primer l’infinitament petit i després l’infinitament gran. A partir de l’infinitament petit, l’infinitèssim, els matemàtics en van fer una potent eina de càlcul, conegut com a càlcul diferencial i integral (derivades, integrals i equacions diferencials). Eines imprescindibles per totes les disciplines científiques, sobretot la física. I l’infinitament gran va resultar ser més plural del que semblava, ja que es va descobrir, per exemple, que hi ha diferents tipus d’infinits, i es va aprendre a fer operacions amb ells. Finalment les paradoxes dels filòsofs grecs van quedar resoltes per sempre més.
Els físics ho tenen molt més fàcil a l’hora de treballar amb els infinits. En primer lloc han hagut d’aprendre totes les eines de càlcul que han resultat ser unes eines imprescindibles. Després, quan fan càlculs i el resultat que obtenen és infinit significa, o bé que el càlcul està equivocat o bé que el model matemàtic que han usat no és correcte i cal buscar-ne un altre més adequat. Perquè una cosa és el món matemàtic i l’altra el món real, encara que el llenguatge de la natura siguin les matemàtiques. Pot haver-hi algun cos amb massa infinita? O amb energia infinita? O amb densitat infinita? O amb càrrega elèctrica infinita? No. Per tant, els físics ho tenen clar: hi ha hagut un error de càlcul o el model matemàtic no és el correcte. Si hi ha hagut un error de càlcul, s’ha de tornar a calcular, però si s’ha de canviar el model matemàtic, això ja és més complicat. A vegades calen dècades per trobar un nou model més adequat. Ara bé, a finals del segle XX una sèrie d’observacions reals van fer pensar que potser sí que hi havia una cosa que era infinita... ho veurem al final de la xerrada.
L’infinit segons els filòsofs
Pel que ens ha arribat a nosaltres, a la Grècia antiga van néixer la major part de disciplines d’avui en dia: la física, la química, la geologia, la història, la geografia, etc...
Els filòsofs grecs es van trobar amb el concepte d’infinit i no van entendre’l, o més ben dit, el van arribar a odiar. Per a ells –com per a la majoria de nosaltres- era un concepte tan estrany que els va portar a una gran confusió. De fet amb l’infinit van el·laborar unes quantes paradoxes que no van saber resoldre.
Un dels filòsofs que va parlar més de l’infinit va ser Zenó d’Elea (490-430 aC), pensador pre-socràtic, qui va plantejar problemes als seus alumnes que van esdevenir paradoxes. Se’n conserven nou, de les quals n’exposaré dues, potser les dues més famoses:
1. La paradoxa de la fletxa
Tenim un arquer amb un arc i una fletxa, i a uns quants metres una diana. Si l’arquer dispara la fletxa (i sabem que té bona punteria), la fletxa impactarà a la diana? Anem a veure com ho pensava Zenó: A la distància entre l’arquer i la diana li diem 1(per fer-ho més senzill). La fletxa, per anar fins a la diana, ha de recórrer la meitat del camí (1/2); una vegada és allà ha de recórrer la meitat del camí que li queda (1/4); una vegada ha arribat, ha de tornar a recórrer la meitat del camí que li queda (1/8); i així successivament. Aquest raonament es pot fer infinites vegades, i es pot deduir que no arribarà mai a la diana, perquè sempre li faltarà un tros per arribar-hi. Zenó pensava que era impossible fer una suma d’infinits termes. Però d’altra banda, sabem que la fletxa impactarà a la diana. Per tant arribem a una paradoxa.
2. Aquiles i la tortuga
Suposem que tenim Aquiles, un semidéu molt fort i ràpid, a uns quants metres al darrera d’una tortuga. L’atraparà? Anem a veure com ho raonava Zenó: En un moment inicial Aquiles està a uns metres de la tortuga. Quan arribi on estava la tortuga inicialment, la tortuga s’haurà mogut una distància i ja no la trobarà. Ara tornem a fer el mateix raonament. Quan Aquiles torni a arribar on hi havia la tortuga, aquesta ja no hi serà perquè s’haurà mogut una miqueta. I aquest raonament el podem fer infinites vegades. Per tant es pot deduir que Aquiles mai atraparà la tortuga. Però tots sabem, perquè l’experiència així ens ho diu, que sí l’atraparà. Hem arribat a una altra paradoxa.
Aristòtil (384-322 aC), potser el més influent filòsof grec, va dividir les coses en acte i en potència. Així, per exemple, un nen és un nen en acte i és un home en potència perquè en un futur ho arribarà a ser. L’infinit el podem entendre en potència, podem entendre el concepte d’alguna cosa que creixi molt, però no el podem entendre en acte. L’infinit no existeix com a tal.
L’infinit segons els matemàtics
Segles abans d’Aristòtil, Pitàgores (582-496 aC) i la seva escola matemàtica van descobrir que hi havia uns nombres horribles que trencaven la perfecció de les matemàtiques: els nombres irracionals. Es tracta de nombres que no es poden representar com la divisió de dos nombres enters i tenen infinits decimals. Segurament el primer que es van trobar va ser , d’una manera molt senzilla: van agafar un quadrat de costats 1x1 i en va calcular la diagonal.
Segons el teorema de Pitàgores, aquesta diagonal compleix:
Aquest número té infinits decimals. Com podia un número tenir infinits decimals? En aquella època no era comprensible. A aquests números els van anomenar irracionals.
De fet el descobriment d’aquest i altres números horribles com aquest va ser un gran secret de l’escola pitagòrica i va produir la crisi més gran de la matemàtica pitagòrica i grega en general. Ningú podia saber que les matemàtiques tenien uns números tan espantosos, una falla tan gran.
Com s’ha comentat, van haver de passar més de dos mil anys perquè els matemàtics domestiquessin l’infinit, tant l’infinitament gran com l’infinitament petit.
L’infinitament gran
Comencem amb l’infinit gran. No es tracta d’un número, sinó que és un concepte però que es pot operar i treballar amb ell. Anem a analitzar què vol dir infinit.
Si prenem el conjunt de nombres naturals: 1,2,3,4,5... Són infinits, ja que si n’agafem un de qualsevol: n, sempre n’hi ha un de més gran: n+1. Per tant no s’acaben mai. Per escriure números molt grans, es fa amb notació científica, amb potències de deu. Així, per exemple: 104= 10.000
Quin és el nombre enter més gran que té nom propi? L’any 1938, Milton Sirotta, un nen de 9 anys, nebot del matemàtic Edward Kasner va batejar un número molt gran que es va “inventar” el seu tiet, amb el nom de gúgol (d’aquí ve el nom del buscador google).
1 gúgol= 10100
Actualment aquest no és el número més gran batejat, perquè després es van inventar el gúgolplex i el gugolduplex:
1 gúgolplex= 10gugol
1gúgolduplex= 10gugolplex
Cal pensar que sense notació científica aquest número no es podria escriure perquè no hi hauria prou espai suficient en tot l’univers que coneixem.
Però encara hi ha un número més gran amb nom propi, es coneix amb el número de Graham. La seva definició és tan complicada que no la intentarem explicar aquí.
I parlant de nombres grans. Hi ha un tipus de números molt importants en matemàtiques: els nombres primers. Són aquells que només són divisibles per 1 i per ells mateixos. Els primers exemples són: 1,2,3,5,7,11,13,17,19.... Si descobriu una fórmula dels nombres primers sereu un dels grans matemàtics de la història, ja que no existeix tal fórmula. I conèixer nombres primers grans és important perquè serveixen per encriptar i desencriptar missatges, per exemple. De moment el nombre primer més gran que es coneix, amb 17 milions de dígits, el va descobrir Curtis Cooper i és el següent:
257885161-1
Però, anem a veure què van descobrir els matemàtics sobre l’infinit.
La majoria de disciplines matemàtiques s’han anat desenvolupant durant dècades gràcies a un bon grapat de matemàtics que han anat fent contribucions. Però en el cas de l’infinit tenim una gran figura que va fer una feina bastant solitària, a ell li devem gairebé tot el que sabem sobre l’infinit: George Cantor (1845-1918). Aquest matemàtic va néixer a Rússia, però a l’edat d’11 anys els seus pares es van traslladar a alemanya i allí va fer tota la seva carrera i la seva vida. Es el fundador de la teoria de conjunts moderna, entre d’altres coses, on l’infinit hi té una importància vital.
Cantor va descobrir que no tots els infinits són iguals, sinó que hi ha infinits més grans que d’altres. D’entrada va veure que hi ha infinits numerables i infinits no numerables.
Els infinits numerables són aquells conjunts d’elements que els podem posar un al costat de l’altre fent una fila. Els podem numerar, o el que és el mateix, podem fer correspondre cada element a un numero natural: el primer amb l’1, el segon amb el 2, el tercer amb el 3, etc.
Tots els conjunts infinits numerables tenen el mateix nombre de membres. I aquí arribem a coses curioses. Per exemple: qui té més números, el conjunt dels naturals o el conjunt dels nombres naturals parells? Els nombres naturals són:
1,2,3,4,5,6.....
D’entrada semblaria que els naturals tenen el doble de números que els naturals parells, però ambdós són numerables i tenen el mateix nombre de números:
2,4,6,8,10,12,14,16...
I quin conjunt és més gran, els naturals o els enters? Els enters són els naturals més el zero més els naturals negatius:
...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...
El conjunt dels enters també és numerable, i per tant té el mateix nombre de membres que els naturals:
0,1,-1,2,-2,3,-3,4...
Si als nombres enters hi afegim els fraccionaris, tenim els nombres racionals, que són tots aquells que es poden expressar com la divisió de dos enters. I el conjunt de nombres racionals, és numerable? Doncs sí, també els podem posar en fila, un al costat de l’altre. Cantor ho va fer de la següent manera:
Però també hi ha nombres que no es poden expressar d’aquesta manera, són els irracionals, nombres que tenen infinits decimals, com per exemple π.
El conjunt de racionals més irracionals formen els nombres reals. I el conjunt de nombres reals, és numerable? Doncs no! Cantor va demostrar que amb aquest conjunt ja no hi ha manera de posar els seus nombre l’un al darrera de l’altre.
Els conjunts no numerables són infinits més grans que els numerables.
Relacionat amb això hi ha un divertiment anomenat l’hotel de Hilbert, que expressa la idea que tots els conjunts infinits numerables són iguals:
Imaginem que tenim un hotel amb infinites habitacions i totes estan ocupades. Arriba un nou client i demana habitació. El podran allotjar? Sí. El que ha de fer la recepcionista és el següent: si un hoste està a l’habitació n haurà d’anar a l’habitació n+1 (1->2, 2->3, 3->4...). L’habitació 1 quedarà lliure i podrà entrar el nou client.
Ara imaginem que l’hotel té totes les habitacions ocupades. Arriben infinits clients i demanen habitacions. Els podran allotjar? Sí. El que ha de fer la recepcionista és el següent: si un hoste està a l’habitació n haurà d’anar a la 2n (1à2, 2à4, 3à6...) de tal manera que s’ompliran les habitacions parells i quedaran buides les senars. Els infinits nous clients que han arribat es podran allotjar a les habitacions senars.
Finalment imaginem que l’hotel d’infinites habitacions les té totes ocupades i que arriben infinits autocars amb infinits clients a cada autocar. Els podran allotjar? Sí. El que ha de fer la recepcionista és el següent: si un hoste està a l’habitació n haurà d’anar a la 2n (1->2, 2->4, 3->6...) de tal manera que s’ompliran les habitacions parelles i quedaran buides les senars. Després agafarà els nombres primers: 3,5,7,11...(n’hi ha infinits) i amb cada nombre primer farà un conjunt infinit amb els seus múltiples (pel nombre 3: 3,9,27,81... per exemple). D’aquesta manera a cada autobús li otorgarà un nombre primer i els seus múltiples.
En aquest vídeo s’explica aquest divertiment molt bé: https://www.youtube.com/watch?v=_5x-j0zRv5w
L’infinitament petit
Un segle abans de domesticar l’infinitament gran es va domesticar l’infinitament petit. En aquest cas ho van fer Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Leibniz (1646-1716). Posteriorment, va ser Augustin Louis Cauchy qui va donar-li una forma més rigorosa en afegir-hi el concepte de límit. Aquesta branca de les matemàtiques ha esdevingut una potent eina de càlcul, imprescindible per la física i les demés ciències.
Ara bé, ja els grecs (com sempre !) havien començat a desenvolupar aquesta eina de càlcul. Concretament van ser Eudox de Cnidos (408-355 aC) i Arquímedes de Siracusa (287-212 aC) qui ho va aconseguir.
Anem a posar un exemple: el càlcul de l’àrea d’una paràbola per Arquímedes. Aquest savi grec volia calcular l’àrea entre una paràbola i una línia recta (figura ):
Per fer-ho va elaborar un mètode aproximatiu. En primer lloc podem aproximar l’àrea de la paràbola amb l’àrea del triangle central (que val 1), després li sumem l’àrea dels dos triangles laterals (que val 1/8), després li sumem l’àrea del quatre triangles més petits grocs (que valen 1/16 cadascun), i anem sumant cada vegada més triangles petits...
Matemàticament s’expressa així:
És una suma d’infinits termes ! que segons Zenó és impossible de sumar.
Però segles després els matemàtics van aprendre a sumar sumes d’infinits termes, que s’anomenen sèries. Les sèries tenen unes regles pròpies. Hi ha sèries que tenen resultat (s’anomenen convergents) i n’hi ha que no en tenen (divergents). Moltes vegades és complicat saber si una sèrie és convergent o no. Anem a veure alguns exemples:
La sèrie S=1-1+1-1+1-1+1.... és convergent?
Aquesta sèrie la podem escriure com:
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+....=0+0+0+---= 0
Però d’altra banda la podem escriure com:
S=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+...= 1
I també la podem escriure com:
S=1-(1-1+1-1+1-1+...)=1-S à S= 1/2
Quin és el resultat bo? Cap d’ells perquè les sèries no es poden tractar com sumes finites. Aquesta sèrie és divergent.
La sèrie S=1+2+3+4+5+6+... és convergent? No, el seu resultat és infinit.
I la sèrie de la paradoxa de la fletxa de Zenó, és convergent? Sí, és convergent i la seva suma és 1, per tant la fletxa arribarà a la diana !
I la sèrie de l’àrea de la paràbola d’Arquímedes, és convergent? Sí, i val: 4/3
La branca de la matemàtica coneguda com a anàlisi o càlcul (diferencial i integral) es basa en la suma de sèries infinites. Imaginem que volem calcular l’àrea que hi ha entre la corba f(x) i la recta x. Com ho podem fer? Arquímedes ens va indicar el camí
Podem dividir la recta x en diferents segments i que lalçada dels quals sigui el valor de la corba. Així tindrem rectangles, dels quals ja sabem sumar l’àrea. La suma de totes les àrees ens donarà un valor aproximat de l’àrea que volem trobar.
El truc és fer aquests rectangles cada vegada més estrets. La suma de les àrees que obtindrem s’acostarà cada vegada més a l’àrea que volem trobar. Si fem que l’amplada dels rectangles tendeixi a un valor infinitament petit, sumarem infinits rectangles. Això és una sèrie, i la seva suma ens donarà el valor exacte de l’Àrea.
Això és diu integrar i, com hem dit, és una eina bàsica pels científics. No només serveix per calcular àrees, serveix per a moltes coses més. La inversa de la integral és la derivada.
Per posar un exemple, hi ha relacions d’aquests tipus entre la posició, la velocitat i l’acceleració de qualsevol objecte:
L’infinit segons els físics
Què passa en el món físic, el món real, pot haver-hi alguna cosa infinita? Doncs en principi creiem que no. D’entrada podem calcular la quantitat d’alguns dels elements que hi ha a l’Univers:
El nombre d’estrelles de la Via Làctia és: 2·1011
El nombre de galàxies de l’Univers conegut és: 1011
El nombre d’estrelles de l’Univers conegut: 2·1022
El nombre de partícules que hi ha en un mol: 6,67·1023
El nombre de partícules que hi ha a l’Univers: 2,2·1079
Com es pot veure, aquests nombres són molt grans, però molt allunyats de l’infinit. Si mirem com és el propi Univers (el seu espai i temps) tenim que:
L’edat de l’Univers: 13.800 milions anys= 4,35·1017 s
El diàmetre de l’Univers observable.= 93.500 milions anys llum= 1027 m
I si anem al món de les partícules elementals, la física quàntica ens diu que no podem dividir l’espai i el temps indefinidament, sinó que hi ha un límit. Aquests límits són el temps de Planck i la longitud de Planck:
Temps de Planck= 45,3·10-44 s
Longitud de Planck= 1,61·10-35 m
En aquest vídeo es pot veure les diferents escales de l’Univers: https://htwins.net/scale2/lang.html
Moltes vegades quan es fa un càlcul en física el resultat és infinit, però no perquè sigui real, sinó perquè el model matemàtic que s’ha utilitzat no és perfecte. Llavors cal buscar un nou model matemàtic per explicar aquella faceta de la natura. Un exemple d’aquest tipus és la teoria de la força de la gravetat. Newton va elaborar una teoria per explicar aquesta força amb una senzilla fórmula:
Aquesta fórmula funciona molt bé, i de fet amb ella hem enviat homes a la Lluna i sondes a Plutó, però què passa si la distància entre les dues masses és molt, molt petita? Doncs que la força va creixent i tendeix a infinit. Es veritat aquest resultat? No! El que passa és que aquesta fórmula no serveix sempre, en concret no serveix quan les distàncies són molt petites. Cal trobar una nova fórmula per aquests casos.
L’any 1915 Albert Einstein va fer una segona teoria de la gravetat, anomenada Teoria de la Relativitat General. En aquest cas la fórmula (les fórmules en realitat) és molt més complexa:
Aquestes equacions també tenen punts singulars on alguna magnitud se’n va a infinit, però el seu ús és molt més general que en el cas de la fórmula anterior.
Segons aquestes fórmules, la gravetat no és una força a distància, sinó que la massa i l’energia corba l’espai i el temps del seu voltant. Per visualitzar aquest efecte normalment es dibuixa l’espai com un pla de dues dimensions, però en realitat en té tres.
Si estudiem l’Univers com un tot es pot calcular la seva curvatura. Aquesta curvatura pot ser de tres tipus diferents, i per tant la geometria de l’univers té tres possibilitats: Si l’Univers té poca massa-energia, la seva curvatura serà molt dèbil i l’Univers serà obert i infinit; si l’Univers té molta massa-energia, la seva curvatura serà molt forta i es tancarà sobre sí mateix, serà tancada, i l’Univers serà finit; i hi ha un cas entremig, si l’univers té una massa-energia entremig, la seva curvatura serà nul·la i la seva geometria plana, éssent també infinit.
Això és la teoria, però quanta massa-energia hi ha a l’Univers?
D’entrada hi ha la matèria visible. Aquesta és 1% de la matèria necessària perquè l’Univers sigui pla. Després hi ha matèria no visible (com forats negres, estrelles petites, gas, etc...) que és un 4% més. Fa molts anys es va descobrir que segur que hi ha matèria que no coneixem ni veiem però de la qual notem la seva força de gravetat. S’anomena matèria fosca i representa el 25%. Amb aquests resultats es va arribar a finals del segle XX i l’Univers contenia un 30% de la matèria necessària perquè fos pla, per tant era obert. Però l’any 1998 es van mesurar supernoves de tipus Ia molt llunyanes i van demostrar que l’Univers estava accelerat. Això volia dir que hi havia una cosa, anomenada energia fosca, que també contribuïa a la massa-energia de l’univers. I, oh casualitat! El seu valor era de 70%. Per tant la massa total de l’univers era de 100% la necessària perquè l’Univers fos pla. Per tant es conclou que l’Univers és pla !!! I això vol dir que l’Univers és infinit !!!!
Per tant, vivim en un univers infinit !!!! per primera vegada a la història hem d’acceptar que alguna cosa sí que és infinita: el propi univers.
Acabaré amb una cita del propi Albert Einstein:
“Hi ha dues coses infinites: l’Univers i l’estupidesa humana, i de la primera no n’estic segur”.
Moltes gràcies.