Conferencia de la Astronómica de Sabadell. Joan Antoni Ros, 8 de octubre de 2025.
Este año conmemoramos el centenario de la ecuación de Schrödinger, un hito fundamental en la física cuántica. La ecuación de Schrödinger puede parecer un jeroglífico lleno de símbolos extraños que asusta a mucha gente cuando intenta acercarse a la física cuántica, ya sea leyendo libros o viendo vídeos. El objetivo de esta conferencia es explicar la física que hay detrás, qué significa esta ecuación y cómo se llegó a ella, sin adentrarnos en detalles matemáticos complejos. No os preocupéis si alguna parte matemática os parece complicada; no hemos venido aquí a sufrir, sino a disfrutar aprendiendo. Esta ecuación, aunque parezca intimidante, nos permite hacer cálculos espectaculares, y hoy veremos cómo, partiendo de conceptos conocidos, llegamos a comprenderla. ¡Empecemos!
Fundamentos de física clásica
Todos hemos estudiado el teorema de conservación de la energía: la energía total de un sistema es la suma de la energía cinética y la energía potencial. La energía cinética es la mitad de la masa por la velocidad al cuadrado, y la energía potencial, por ejemplo, puede ser la masa por la gravedad y la altura.
Imaginemos a un niño con un patinete bajando una pendiente: a medida que disminuye la altura, aumenta la velocidad, porque la energía total se mantiene constante. Este concepto, que todos hemos experimentado con una bicicleta o un coche acelerando cuesta abajo, es muy familiar. Pues bien, la ecuación de Schrödinger, en esencia, parte de esta misma idea, escrita de una forma un poco más compleja. Podríamos decir que ya hemos terminado la conferencia, ¡pero dejadme explicarlo un poco más!
El nacimiento de la física cuántica
Antes del año en que surgió la física cuántica, se creía que la física estaba casi resuelta, que solo quedaba precisar algunos detalles. Pero dos experimentos no encajaban: el experimento de Michelson-Morley, que condujo a la teoría de la relatividad, y el espectro de radiación del cuerpo negro, que desencadenó la física cuántica.
Un cuerpo negro es un objeto idealizado, como una estrella o un planeta, que absorbe y emite radiación térmica de forma aislada. En el laboratorio se utilizan cilindros huecos de cerámica o platino para estudiar sus propiedades.
Cuando se calentaba un cuerpo negro, la física clásica preveía una curva de radiación que, en el infrarrojo, se ajustaba bien, pero en el ultravioleta se convertía en un desastre, conocido como la “catástrofe ultravioleta”. La curva real mostraba un pico que aumentaba en energía y frecuencia al calentar el cuerpo, y bajaba al enfriarlo (figura 1), pero las ecuaciones clásicas no lo explicaban. Wien encontró una ecuación que sí coincidía con la curva real, pero no sabía por qué.
Figura 1. Espectro del cuerpo negro, la curva de Wien y la curva de la catástrofe ultravioleta
Fue Max Planck quien, en un intento desesperado, propuso que la energía se emite en pequeños paquetes, proporcionales a la frecuencia y multiplicados por una constante muy pequeña, la constante de Planck (E=hv). Este “truco” resolvió el problema, ajustándose perfectamente a la curva observada, y marcó el inicio de la física cuántica, aunque la comunidad científica tardó años en aceptarlo.
¿Partículas u ondas?
Una pregunta clave en física es: ¿las partículas son corpúsculos o son ondas? Cuando pensamos en un electrón, tendemos a imaginarlo como una bolita, pero hay experimentos que muestran tanto su naturaleza corpuscular como ondulatoria. Por ejemplo, los tubos de rayos catódicos, como los de los antiguos televisores, muestran electrones como partículas que impactan en una pantalla de fósforo, generando luz.
El efecto fotoeléctrico, explicado por Einstein, también muestra los fotones como partículas que, al impactar contra un material, arrancan electrones. Este descubrimiento, que le valió el Nobel, reforzó la idea de la física cuántica que estaba naciendo, a pesar de que Einstein era escéptico con algunas de sus implicaciones.
Figura 2. Esquema del efecto fotoeléctrico
Por otro lado, existen pruebas de la naturaleza ondulatoria de la luz y de las partículas. La refracción de la luz en el agua, por ejemplo, se explica mejor con la teoría ondulatoria de Huygens que con la corpuscular de Newton. El experimento de la doble rendija, realizado con luz o con electrones, muestra un patrón de interferencia con franjas claras y oscuras, típico de las ondas. Incluso enviando electrones de uno en uno, el patrón de interferencia aparece, demostrando que tienen un comportamiento ondulatorio.
Figura 3. Experimento de la doble rendija de Young
Además, el experimento de Davisson-Germer, en el que electrones impactan sobre un cristal, también produce un patrón de interferencia, confirmando esta dualidad.
El postulado de De Broglie estableció que toda partícula tiene una onda asociada, y hoy hablamos de “wavicles”, un término que combina “wave” (onda) y “particle” (partícula). Así pues, una idea clave de la física cuántica es que todas las partículas que forman el Universo van acompañadas de ondas. Este cambio conceptual fue esencial para la física cuántica, y la ecuación de Schrödinger es el resultado de esta visión.
Construyendo la ecuación de Schrödinger
Para entender la ecuación, refresquemos algunos conceptos. Una onda se puede representar con funciones seno o coseno, con una longitud de onda y una frecuencia, medidas en radianes para la física.
La cantidad de movimiento es la masa por la velocidad, y la energía, según Planck, es la constante de Planck por la frecuencia. Además, trabajamos en el plano complejo, con una componente real (el espacio medible) y una imaginaria (que incluye la i, la raíz cuadrada de menos uno), pero no os preocupéis: al final, los resultados son reales y tangibles.
La función de onda, representada por la letra griega psi (ψ), describe la onda asociada a una partícula, con componentes de espacio y tiempo. En física cuántica, magnitudes como la energía o la cantidad de movimiento se convierten en operadores, pequeñas funciones matemáticas que actúan sobre la función de onda.
Las ideas fundamentales detrás de los operadores son que la física está representada por ondas y que las ondas, básicamente, son funciones seno y/o coseno. La onda está definida por una función de onda, que tiene una parte espacial y una parte temporal.
Como se puede ver, aparece una i (número imaginario), lo que significa que se trabaja con números complejos (una parte real y otra imaginaria). Esto se hace en muchos otros campos de la física y sirve para encontrar todos los resultados de las ecuaciones, aunque finalmente los que valen son los números reales.
Así pues, el momento y la energía ya no son magnitudes simples y directas, sino que son operadores sobre la función de onda:
La ecuación de Schrödinger parte del principio de conservación de la energía: la energía total es igual a la energía cinética (proporcional al cuadrado de la cantidad de movimiento) más la energía potencial, que puede representar una barrera, como un campo eléctrico.
Podemos reescribirla así:
Sustituyendo la cantidad de movimiento y la energía por operadores (derivadas que actúan sobre la función de onda), llegamos a la ecuación de Schrödinger:
Esta ecuación nos permite calcular, con las condiciones conocidas (masa de la partícula, potencial, etc.), qué función de onda corresponde a una partícula y, a partir de ahí, encontrar probabilidades, como la de hallar un electrón en un lugar concreto. Este cálculo es increíblemente preciso y se utiliza, por ejemplo, para estudiar la distribución de electrones en un átomo.
Si observamos la ecuación de Schrödinger, vemos que el tiempo está derivado una vez, mientras que el espacio lo está dos veces.
Las teorías de la relatividad
Cambiando de tema, en 1905 Albert Einstein obtuvo las ecuaciones de la relatividad especial, y diez años después obtuvo (junto con David Hilbert) las ecuaciones de la relatividad general, la teoría que describe la fuerza de la gravedad. Estas ecuaciones de la relatividad general son:
Donde cada uno de esos objetos son tensores 4x4, cuyas columnas corresponden al tiempo y a las tres coordenadas espaciales.
Todas estas operaciones matemáticas, tanto en la Teoría de la Relatividad Especial como en la General, tratan el espacio y el tiempo exactamente igual.
Os explico todo esto para que entendáis por qué no hay manera de unificar la cuántica con la relatividad. Tenemos dos teorías extraordinariamente precisas: la relatividad general explica muy bien el macrocosmos (agujeros negros, GPS, distorsión del espacio-tiempo), y la cuántica explica muy bien el microcosmos (átomos, electrones). Pero fusionarlas es un reto monumental, en parte porque el tratamiento matemático del tiempo y el espacio es distinto: mientras la relatividad trata matemáticamente el espacio y el tiempo de igual manera, la cuántica los trata de forma diferente. No hay forma de que estas dos teorías “hablen el mismo idioma”. En más de 100 años, nadie ha conseguido unificarlas.
Ha habido intentos de unificarlas, como la ecuación de Klein-Gordon, la ecuación de Dirac o la teoría del campo unificado. La ecuación de Dirac funciona muy bien, pero solo para la mitad del Universo: los fermiones.
Reflexiones finales
Estas diferencias nos llevan a preguntas profundas:
· ¿El espacio y el tiempo se comportan de forma diferente en el microcosmos y en el macrocosmos?· Las partículas obedecen simultáneamente la cuántica y la relatividad, así que una teoría del todo debería integrarlas.
· ¿Es posible que existan leyes de escala, con una física para el microcosmos y otra para el macrocosmos, que se complementen?
· La cuántica y la relatividad dan resultados tan precisos que cualquier teoría unificada debe parecerse mucho a ambas.
Mientras tanto, la ecuación de Schrödinger sigue siendo una herramienta poderosa para entender el microcosmos, y su centenario es una oportunidad para reflexionar sobre su impacto.
Coloquio
¿Existe una frontera clara entre el microcosmos y el macrocosmos?
Según la interpretación de Copenhague, el microcosmos es tan diferente de nuestra experiencia cotidiana que hay una barrera difícil de superar. Entre la física clásica y la relatividad general hay una transición suave, pero el conflicto principal está en el microcosmos, donde la cuántica opera de manera radicalmente diferente.
¿De dónde sale el signo negativo en la energía cinética de la ecuación de Schrödinger?
El signo negativo no es relevante; depende de cómo se ordenen los términos. Normalmente, se colocan la energía total, la energía cinética y el potencial como positivas. Es una cuestión de convención matemática, y no implica una energía negativa.
¿El principio de superposición y el entrelazamiento son deducciones matemáticas o empíricas?
El entrelazamiento cuántico, descrito en experimentos como los de Einstein, Podolsky y Rosen, surge de las leyes de la física. Cuando se crean dos partículas entrelazadas, sus propiedades quedan ligadas: si medimos una (por ejemplo, la polarización de un fotón), la otra tiene el valor contrario, incluso a gran distancia. Esto se deriva de principios fundamentales y se confirma experimentalmente, aunque no recuerdo exactamente si sale directamente de la ecuación de Schrödinger.
¿Cómo evita la cuantización de la energía la catástrofe ultravioleta?
La intuición de Planck fue introducir que la energía se emite en paquetes discretos, proporcionales a la frecuencia. Esto evitó que la radiación predicha por los modelos clásicos se fuera al infinito en el ultravioleta, ajustándose a la curva observada. Fue un intento desesperado, pero funcionó, aunque Planck no lo considerara una revolución en su momento.