Conferència de l'Astronòmica de Sabadell. Joan Antoni Ros, 8 d'octubre de 2025.
Aquest any commemorem el centenari de l’equació de Schrödinger, una fita fonamental en la física quàntica. L’equació de Schrödinger pot semblar un jeroglífic ple de símbols estranys que espanta molta gent quan intenta acostar-se a la física quàntica, ja sigui llegint llibres o mirant vídeos. L’objectiu d’aquesta conferència és explicar la física que hi ha darrere, què significa aquesta equació i com s’hi va arribar, sense endinsar-nos en detalls matemàtics complexos. No us preocupeu si alguna part matemàtica us sembla complicada; no hem vingut aquí a patir, sinó a gaudir aprenent! Aquesta equació, tot i semblar intimidant, ens permet fer càlculs espectaculars, i avui veurem com, partint de conceptes coneguts, arribem a entendre-la. Comencem!
Fonaments de física clàssica
Tots hem estudiat el teorema de conservació de l’energia: l’energia total d’un sistema és la suma de l’energia cinètica i l’energia potencial. L’energia cinètica és la meitat de la massa per la velocitat al quadrat, i l’energia potencial, per exemple, pot ser la massa per la gravetat i l’alçada.
Imaginem un nen amb un patinet baixant un pendent: a mesura que l’alçada disminueix, la velocitat augmenta, perquè l’energia total es manté constant. Aquest concepte, que tots hem viscut amb una bicicleta o un cotxe accelerant en una baixada, és ben familiar. Doncs l’equació de Schrödinger, en essència, parteix d’aquesta mateixa idea, escrita d’una manera una mica més complexa. Podríem dir que ja hem acabat la conferència, però deixeu-me explicar-ho una mica més!
El naixement de la física quàntica
Abans de l’any en què va sorgir la física quàntica, es creia que la física estava gairebé resolta, que només calia precisar alguns detalls. Però dos experiments no quadraven: l’experiment de Michelson-Morley, que va portar a la teoria de la relativitat, i l’espectre de radiació del cos negre, que va desencadenar la física quàntica.
Un cos negre és un objecte idealitzat, com una estrella o un planeta, que absorbeix i emet radiació tèrmica de manera aïllada. Al laboratori, es fan servir cilindres buits de ceràmica o platí per estudiar-ne les propietats.
Quan s’escalfava un cos negre, la física clàssica preveia una corba de radiació que, a l’infraroig, s’ajustava bé, però a l’ultraviolat esdevenia un desastre, anomenat la “catàstrofe ultraviolada”. La corba real mostrava un pic que pujava en energia i freqüència quan escalfàvem el cos, i baixava quan el refredàvem (figura 1), però les equacions clàssiques no ho explicaven. Wien va trobar una equació que sí es corresponia amb la corba real però no sabia el perquè.
Figura 1. Espectre del cos negre, la corba de wien i la corba de la catàstrofe ultravioleta
Va ser Max Planck qui, en un intent desesperat, va proposar que l’energia és emesa en petits paquets, proporcionals a la freqüència i multiplicats per una constant molt petita, la constant de Planck (E=hv). Aquest “truc” va resoldre el problema, ajustant-se perfectament a la corba observada, i va marcar l’inici de la física quàntica, tot i que va costar anys que la comunitat científica l’acceptés.
Partícules o ones?
Una pregunta clau en física és si les partícules són corpuscles o ones? Quan pensem en un electró, tendim a imaginar-lo com una boleta, però hi ha experiments que mostren tant la seva naturalesa corpuscular com ondulatòria. Per exemple, els tubs de raigs catòdics, com els de les televisions antigues, mostren electrons com partícules que impacten en una pantalla de fòsfor, generant llum.
L’efecte fotoelèctric, explicat per Einstein, també mostra els fotons com partícules que, en impactar contra un material, arranquen electrons. Aquest descobriment, que li va valdre el Nobel, va reforçar la idea de la física quàntica que estava naixent, malgrat que Einstein era escèptic amb algunes implicacions de la quàntica.
Figura 2. Esquema de l’efecte fotoelèctric
D’altra banda, hi ha proves de la naturalesa ondulatòria de la llum i de les partícules. La refracció de la llum en l’aigua, per exemple, s’explica millor amb la teoria ondulatòria de Huygens que amb la corpuscular de Newton. L’experiment de les dues escletxes, realitzat amb llum o electrons, mostra un patró d’interferència amb franges clares i fosques, típic de les ones. Fins i tot enviant electrons d’un en un, el patró d’interferència apareix, demostrant que tenen un comportament ondulatori.
Figura 3. Experiment de doble reixeta Young
A més, l’experiment de Davisson-Germer, on electrons impacten sobre un cristall, també produeix un patró d’interferència, confirmant aquesta dualitat.
El postulat de De Broglie va establir que tota partícula té una ona associada, i avui parlem de “wavicles”, un terme que combina “wave” (ona) i “particle” (partícula). Així doncs, una idea clau de la física quàntica és que totes les partícules que formen l’Univers van acompanyades d’ones. Aquest canvi conceptual va ser clau per a la física quàntica, i l’equació de Schrödinger és el resultat d’aquesta visió.
Construint l’equació de Schrödinger
Per entendre l’equació, refresquem alguns conceptes. Una ona es pot representar amb funcions sinus o cosinus, amb una longitud d’ona i una freqüència, mesurades en radians per a la física.
La quantitat de moviment és la massa per la velocitat, i l’energia, segons Planck, és la constant de Planck per la freqüència. A més, treballem en el pla complex, amb una component real (l’espai mesurable) i una imaginària (que inclou la i, l’arrel quadrada de menys u), però no us preocupeu: al final, els resultats són reals i tangibles.
La funció d’ona, representada per la lletra grega psi (ψ), descriu l’ona associada a una partícula, amb components d’espai i temps. En física quàntica, les magnituds com l’energia o la quantitat de moviment es converteixen en operadors, petites funcions matemàtiques que actuen sobre la funció d’ona.
Les idees fonamentals que hi ha darrera dels operadors són que la física està representada per ones i que les ones, bàsicament, són funcions sinus i/o cosinus. La ona està definida per una funció d’ona, que té una part espaial i una part temporal:
Com es pot veure apareix una i (número imaginari), el que significa que es treballa amb nombres complexes (una part real i una part imaginària). Això es fa amb molts altres camps de la física i serveix per trobar tots els resultats de les equacions, encara que finalment els que valen són els números reals.
Així doncs, el moment i l’energia ja no són magnituds senzilles i directes sinó que són operadors sobre la funció d’ona:
L’equació de Schrödinger parteix del principi de conservació de l’energia: l’energia total és igual a l’energia cinètica (proporcional a la quantitat de moviment al quadrat) més l’energia potencial, que pot representar una barrera, com un camp elèctric.
Que ho podem reescriure d’aquesta manera:
Substituint la quantitat de moviment i l’energia per operadors (derivades que actuen sobre la funció d’ona), arribem a l’equació de Schrödinger:
Aquesta equació ens permet calcular, amb les condicions conegudes (massa de la partícula, potencial, etc.), quina funció d’ona correspon a una partícula i, a partir d’aquí, trobar probabilitats, com la de trobar un electrò en un lloc concret. Aquest càlcul és increïblement precís i s’utilitza, per exemple, per estudiar la distribució d’electrons en un àtom.
Si ens fixem en l’equació d’Schrödinger es veu que el temps està derivat una vegada mentre que l’espai està derivat dues vegades.
Les teories de la relativitat
Canviant de tema, l’any 1905 Albert Einstein va obtenir les equacions de la relativitat especial, i deu anys després va obtenir (juntament amb David Hilbert) les equacions de la relativitat general, la teoria que descriu la força de la gravetat. Us escric aquestes equacions de la relativitat general:
On cadascun d’aquests objectes són tensors 4x4, on les diferents columnes es corresponen al temps i a les tres coordenades d’espai.
Totes aquestes operacions matemàtiques, tant la Teoria de la Relativitat Especial com la General, tracten exactament igual a l’espai i al temps.
Tot això us ho explico perquè s’entengui perquè no hi ha manera d’unificar la quàntica amb la relativitat. Tenim dues teories extraordinàriament precises: la relativitat general explica el macrocosmos (forats negres, GPS, distorsió de l’espai-temps) molt bé, i la quàntica explica el microcosmos (àtoms, electrons) també molt bé. Però fusionar-les és un repte monumental, en part perquè el tractament matemàtic del temps i l’espai és diferent, mentre que la relativitat tracta matemàticament l’espai i el temps d’igual manera, la quàntica tracta l’espai i el temps de forma diferent. No hi ha manera de que s’entenguin aquestes dues teories. En més de 100 anys ningú ha aconseguit unificar-les.
Hi ha hagut intents d’unificar-les com l’equació de Klein-Gordon, l’equació de Dirac o la teoria del camp unificat. L’equació de Dirac funciona molt bé però només per la meitat de l’Univers, pels fermions.
Reflexions finals
Aquestes diferències ens porten a preguntes profundes:
- l’espai i el temps es comporten diferent al microcosmos i al macrocosmos?
- Les partícules obeeixen la quàntica i la relativitat alhora, així que una teoria del tot hauria d’integrar-les.
- És possible que hi hagi lleis d’escala, amb una física per al microcosmos i una altra per al macrocosmos, que es complementin?
- La quàntica i la relativitat donen resultats tan precisos que qualsevol teoria unificada ha de ser molt semblant a ambdues.
Mentrestant, l’equació de Schrödinger segueix sent una eina poderosa per entendre el microcosmos, i el seu centenari és una oportunitat per reflexionar sobre el seu impacte.
Col·loqui
Hi ha una frontera clara entre el microcosmos i el macrocosmos?
Segons la interpretació de Copenhaguen, el microcosmos és tan diferent de la nostra experiència quotidiana que hi ha una barrera difícil de superar. Entre la física clàssica i la relativitat general hi ha una transició suau, però el conflicte principal és al microcosmos, on la quàntica opera de manera radicalment diferent.
D’on surt el signe negatiu en l’energia cinètica de l’equació de Schrödinger?
El signe negatiu no és rellevant; depèn de com ordenem els termes. Normalment, es col·loquen l’energia total, l’energia cinètica i el potencial com a positius. És una qüestió de convenció matemàtica, i no implica una energia negativa.
El principi de superposició i l’entrellaçament són deduccions matemàtiques o empíriques?
L’entrellaçament quàntic, descrit en experiments com els d’Einstein, Podolsky i Rosen, sorgeix de les lleis de la física. Quan es creen dues partícules entrellaçades, les seves propietats estan lligades: si mesurem una (per exemple, la polarització d’un fotó), l’altra té el valor contrari, fins i tot a gran distància. Això es deriva de principis fonamentals i es confirma experimentalment, encara que no recordi exactament si surt directament de l’equació de Schrödinger.
Com la quantització de l’energia evita la catàstrofe ultraviolada?
La intuïció de Planck va ser introduir que l’energia es emet en paquets discrets, proporcionals a la freqüència. Això va evitar que la radiació predita pels models clàssics s’anés a l’infinit en l’ultraviolat, ajustant-se a la corba observada. Va ser un intent desesperat, però va funcionar, tot i que Planck no ho considerava una revolució en el moment.